第七十三章 不一樣的算法
「沒問題老師，但林老師讓我今天晚上去他那裡講講競賽試題，所以今天晚上恐怕沒時間。
而且，要是今天晚上講不完的話，可能明天晚上還要去一趟。」趙賢才道。
「沒事，這事不急，就算你進了省隊，這距離去參加CMO還有段時間呢。
而且你在林老師他們那邊說了一遍之後，再到班裡來講，肯定也能講得更好。」
見趙賢才答應下來，方遒便笑著說道。
方遒和趙賢才沒聊幾句，這晚自習的預備鈴也打響了，趙賢才也離開了教室。
……
「……已知正三稜錐P-ABC底面邊上為1，高為√2，問其內切球半徑是多少。
這第四題不用講了吧？
我們初賽解答題第一題和這題一模一樣，連邊長都一樣，就是這個高改了一下，而且我們幾個的答案也都一樣。
當初初賽的時候，我做這題心裡就還在想，這題就算是出在填空題上，直接讓你求內切球的半徑都沒啥，沒想到在這聯賽上還真就出了。」
晚上晚自習的時候，趙賢才和季興磊還有林老師他們都在一間教室里，趙賢才正和他們說著聯賽的試題。
「嗯，這題確實和初賽解答題的第一題一模一樣。
你們其他人這題都沒什麼問題吧？
這題就不用講了，你接著往下講吧。」
聽趙賢才說完這題的題干之後，林廣強便感覺這題怎麼這麼熟悉。
而等趙賢才說完，林廣強也記起來，這題不就是初賽上的原題嗎？
「第5題是設a，b為實數，函數f(x)=ax+b滿足：對任意x∈[0，1]，有丨f(x)丨≤1，問ab的最大值是多少。
這題我是通過ab=f(0)·(f(1)-f(0))=-(f(0)-f(1)/2)²+(f(1))²/4≤(f(1))²/4≤1/4來求的，填空題我們之前還只對了答案，還沒有聊都是怎麼寫的呢。
你們也是用這個方法嗎？」
說到這裡的時候，趙賢才又看向了季興磊他們。
「我這題用的方法和你的一樣。」
「我這題寫錯了。」
「欸，我這題用的不是這種方法，不過最後結果算出來和你一樣，都是1/4。」
鄭文儀用的方法和趙賢才一樣，季興磊這題做錯了。
最後說這題用的方法和趙賢才不一樣，是張景強。
一聽張景強這麼說，趙賢才也是來了興趣，對他問道：「你用的什麼方法？」
這就是雖然聯賽試題趙賢才全部都寫完了，也覺得自己能拿滿分，但還是同意給他們講的原因之一。
俗話說三個臭皮匠頂個諸葛亮，與其他人交流，也能給趙賢才帶來更多解題思路，畢竟一個人的能力再怎麼樣都是有限的。
「我是這麼想的，既然|f（x）|=|ax+b|≤1，那麼就有-1≤ax+b≤1，當x等於1的時候，就有-1≤a+b≤1。
然後再根據基本不等式√ab≤（a+b）/2，就有0≤ab≤(a+b)²/4=1/4。
所以，ab的最大值就是1/4。」
張景強和趙賢才說了一下自己的解題過程。
聽張景強說完之後，趙賢才感覺哪裡不對勁，但一時卻又說不上來。
「怎麼了？他這解法有什麼問題嗎？」
一旁的鄭文儀見趙賢才不說話，便問道。
「好像是有點問題，但哪裡有問題我又說不上來。
林老師，您看出來張景強這題哪裡有什麼問題了嗎？還是我想多了？」
趙賢才和鄭文儀說完，又對林廣強問道。
林廣強不愧當了這麼多年的老師，見多識廣，一下子就看出來張景強這題哪裡不對經了。
「他在0≤ab≤(a+b)²/4=1/4那一塊有問題。
張景強，我問你，基本不等式的定義是什麼？」
林廣強對張景強說道，他並沒有直接點出來張景強這個解題過程究竟出了什麼問題。
「就是√ab≤（a+b）/2啊？
證明過程我都記得呢，因為(√a-√b)^2≥0，所以a-2√ab+b≥0，然後就有a+b≥2√ab，最後有√ab≤（a+b）/2。」
張景強還沒意識到自己哪裡錯了，一臉自信的說道。
「哦~~~我知道了哪裡不對經了，剛剛被張景強給帶進去了，一時沒想到這個問題。
張景強，我問你，如果ab是一正一負或者是兩個負數呢？」
「一正一負？
哎呀，這給我忘了，基本不等式的前提是兩個正實數了。」
「基本不等式的表述為，兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。
我相信你們數學老師上課的時候，應該也都強調過了吧，在使用基本不等式的時候，一定要記住兩個式子都要是正數。
張景強，你這麼馬虎可不行，高考的時候要是因為這點小問題出了事，那很有可能就和你想去的學校擦肩而過了。」
林廣強語氣嚴厲的和張景強說道，張景強的成績在成賢一中的高三年級里，雖然算不上前三，但那也是經常進全年級前十的。
這次居然犯了這麼低級的錯誤，雖然因為運氣好，最後答案是對了，但他身為教過張景強一段時間數學的老師，該說還是要說的。
「記得記得，當時我們老師還和我們說，在使用基本不等式的時候，要牢記『一正』『二定』『三相等』這個七字真言呢。
『一正』就是指兩個式子都為正數，『二定』是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，『三相等』是指若且唯若兩個式子相等時，才能取等號。
但我當時把這茬給忘了。」
見林廣強語氣變得嚴肅，張景強也是連忙說道。
「可是，為什麼張景強這題做出來的答案會和趙賢才的一樣？」
一旁的季興磊有些奇怪的問道。
而此時的趙賢才，也開口解答了季興磊的疑惑。
「其實這題用這種方法的確沒什麼問題，只不過他少了幾個步驟。
既然這題是讓求ab的最大值，那麼a和b肯定要麼都是正數，要麼都是負數，不可能是一正一負。
因為如果是一正一負的話，ab乘積就是負數，不可能是最大值。。
如果是他它們都是正數的話，這過程就不用改。
如果都是負數的話，也可以用-a=t，-b=w來往後算……」
「哦，原來是這樣。」
「難怪呢，你小子運氣真好。」
「好了，這一題大家也搞明白了，那下一題吧。
後面這幾道填空題難度都有所提升了吧？
我記得中午鄭文儀和我說的時候，就說她第六題雖然答案和趙賢才的一樣，但她的答案卻是猜的。
而且鄭文儀第七題取值範圍還算錯了，第八題又直接跳過。
所以，這後面的你們更要好好聽。」
而且，要是今天晚上講不完的話，可能明天晚上還要去一趟。」趙賢才道。
「沒事，這事不急，就算你進了省隊，這距離去參加CMO還有段時間呢。
而且你在林老師他們那邊說了一遍之後，再到班裡來講，肯定也能講得更好。」
見趙賢才答應下來，方遒便笑著說道。
方遒和趙賢才沒聊幾句，這晚自習的預備鈴也打響了，趙賢才也離開了教室。
……
「……已知正三稜錐P-ABC底面邊上為1，高為√2，問其內切球半徑是多少。
這第四題不用講了吧？
我們初賽解答題第一題和這題一模一樣，連邊長都一樣，就是這個高改了一下，而且我們幾個的答案也都一樣。
當初初賽的時候，我做這題心裡就還在想，這題就算是出在填空題上，直接讓你求內切球的半徑都沒啥，沒想到在這聯賽上還真就出了。」
晚上晚自習的時候，趙賢才和季興磊還有林老師他們都在一間教室里，趙賢才正和他們說著聯賽的試題。
「嗯，這題確實和初賽解答題的第一題一模一樣。
你們其他人這題都沒什麼問題吧？
這題就不用講了，你接著往下講吧。」
聽趙賢才說完這題的題干之後，林廣強便感覺這題怎麼這麼熟悉。
而等趙賢才說完，林廣強也記起來，這題不就是初賽上的原題嗎？
「第5題是設a，b為實數，函數f(x)=ax+b滿足：對任意x∈[0，1]，有丨f(x)丨≤1，問ab的最大值是多少。
這題我是通過ab=f(0)·(f(1)-f(0))=-(f(0)-f(1)/2)²+(f(1))²/4≤(f(1))²/4≤1/4來求的，填空題我們之前還只對了答案，還沒有聊都是怎麼寫的呢。
你們也是用這個方法嗎？」
說到這裡的時候，趙賢才又看向了季興磊他們。
「我這題用的方法和你的一樣。」
「我這題寫錯了。」
「欸，我這題用的不是這種方法，不過最後結果算出來和你一樣，都是1/4。」
鄭文儀用的方法和趙賢才一樣，季興磊這題做錯了。
最後說這題用的方法和趙賢才不一樣，是張景強。
一聽張景強這麼說，趙賢才也是來了興趣，對他問道：「你用的什麼方法？」
這就是雖然聯賽試題趙賢才全部都寫完了，也覺得自己能拿滿分，但還是同意給他們講的原因之一。
俗話說三個臭皮匠頂個諸葛亮，與其他人交流，也能給趙賢才帶來更多解題思路，畢竟一個人的能力再怎麼樣都是有限的。
「我是這麼想的，既然|f（x）|=|ax+b|≤1，那麼就有-1≤ax+b≤1，當x等於1的時候，就有-1≤a+b≤1。
然後再根據基本不等式√ab≤（a+b）/2，就有0≤ab≤(a+b)²/4=1/4。
所以，ab的最大值就是1/4。」
張景強和趙賢才說了一下自己的解題過程。
聽張景強說完之後，趙賢才感覺哪裡不對勁，但一時卻又說不上來。
「怎麼了？他這解法有什麼問題嗎？」
一旁的鄭文儀見趙賢才不說話，便問道。
「好像是有點問題，但哪裡有問題我又說不上來。
林老師，您看出來張景強這題哪裡有什麼問題了嗎？還是我想多了？」
趙賢才和鄭文儀說完，又對林廣強問道。
林廣強不愧當了這麼多年的老師，見多識廣，一下子就看出來張景強這題哪裡不對經了。
「他在0≤ab≤(a+b)²/4=1/4那一塊有問題。
張景強，我問你，基本不等式的定義是什麼？」
林廣強對張景強說道，他並沒有直接點出來張景強這個解題過程究竟出了什麼問題。
「就是√ab≤（a+b）/2啊？
證明過程我都記得呢，因為(√a-√b)^2≥0，所以a-2√ab+b≥0，然後就有a+b≥2√ab，最後有√ab≤（a+b）/2。」
張景強還沒意識到自己哪裡錯了，一臉自信的說道。
「哦~~~我知道了哪裡不對經了，剛剛被張景強給帶進去了，一時沒想到這個問題。
張景強，我問你，如果ab是一正一負或者是兩個負數呢？」
「一正一負？
哎呀，這給我忘了，基本不等式的前提是兩個正實數了。」
「基本不等式的表述為，兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。
我相信你們數學老師上課的時候，應該也都強調過了吧，在使用基本不等式的時候，一定要記住兩個式子都要是正數。
張景強，你這麼馬虎可不行，高考的時候要是因為這點小問題出了事，那很有可能就和你想去的學校擦肩而過了。」
林廣強語氣嚴厲的和張景強說道，張景強的成績在成賢一中的高三年級里，雖然算不上前三，但那也是經常進全年級前十的。
這次居然犯了這麼低級的錯誤，雖然因為運氣好，最後答案是對了，但他身為教過張景強一段時間數學的老師，該說還是要說的。
「記得記得，當時我們老師還和我們說，在使用基本不等式的時候，要牢記『一正』『二定』『三相等』這個七字真言呢。
『一正』就是指兩個式子都為正數，『二定』是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，『三相等』是指若且唯若兩個式子相等時，才能取等號。
但我當時把這茬給忘了。」
見林廣強語氣變得嚴肅，張景強也是連忙說道。
「可是，為什麼張景強這題做出來的答案會和趙賢才的一樣？」
一旁的季興磊有些奇怪的問道。
而此時的趙賢才，也開口解答了季興磊的疑惑。
「其實這題用這種方法的確沒什麼問題，只不過他少了幾個步驟。
既然這題是讓求ab的最大值，那麼a和b肯定要麼都是正數，要麼都是負數，不可能是一正一負。
因為如果是一正一負的話，ab乘積就是負數，不可能是最大值。。
如果是他它們都是正數的話，這過程就不用改。
如果都是負數的話，也可以用-a=t，-b=w來往後算……」
「哦，原來是這樣。」
「難怪呢，你小子運氣真好。」
「好了，這一題大家也搞明白了，那下一題吧。
後面這幾道填空題難度都有所提升了吧？
我記得中午鄭文儀和我說的時候，就說她第六題雖然答案和趙賢才的一樣，但她的答案卻是猜的。
而且鄭文儀第七題取值範圍還算錯了，第八題又直接跳過。
所以，這後面的你們更要好好聽。」